Guide pédagogique

Mécanique hamiltonienne et géométrie symplectique : comprendre l'espace des phases

Rédigé le 27 octobre 2026 · niveau L3 / M1 de physique ou de mathématiques

Une bille qui roule, une planète sur son orbite, un pendule qui oscille : la mécanique classique décrit ces mouvements par des équations différentielles. La formulation hamiltonienne en révèle la géométrie cachée, et cette géométrie explique pourquoi certaines grandeurs se conservent et pourquoi certains calculs numériques dérivent. Ce guide indépendant en donne les idées centrales, sans démonstrations lourdes.

Pourquoi une géométrie de la mécanique

Les lois de Newton disent comment les forces modifient le mouvement. Elles suffisent pour résoudre la plupart des exercices d'un premier cours, mais elles dépendent des coordonnées choisies : écrire la même équation en coordonnées cartésiennes, polaires ou sphériques donne des expressions très différentes. Les physiciens du XVIIIe et du XIXe siècle, de Lagrange à Hamilton en passant par Jacobi, ont donc cherché une écriture plus souple, où le système de coordonnées peut changer sans que la physique en soit affectée.

Le résultat est une théorie qui ne parle plus de forces mais d'énergie, et qui remplace la trajectoire dans l'espace ordinaire par une trajectoire dans un espace plus vaste, l'espace des phases. Le mouvement y devient un écoulement régulier, comparable à celui d'un fluide, dont on peut étudier la forme globale : les orbites fermées, les points d'équilibre, les zones de stabilité ou de chaos. C'est cette lecture géométrique qui a conduit, au XXe siècle, à la notion de variété symplectique, cadre naturel de toute la mécanique classique.

De Newton à Hamilton

Coordonnées généralisées et impulsions

On décrit la configuration d'un système par des coordonnées généralisées, notées q : un angle pour un pendule, deux coordonnées pour une bille sur une table, trois pour une particule libre. À chaque coordonnée correspond une impulsion conjuguée p. Pour une particule de masse m qui se déplace sur une droite, p vaut simplement m fois la vitesse. Pour un angle, p est un moment cinétique.

Les équations de Hamilton

Le hamiltonien H(q, p) est une fonction de ces variables. Pour un système simple dont les liaisons ne dépendent pas du temps, il représente l'énergie totale, somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle. L'évolution obéit à deux équations symétriques :

Le signe moins est essentiel : il échange le rôle des deux variables d'une manière précise, qui est l'empreinte de la structure symplectique que l'on décrit plus bas. Une conséquence immédiate : H est constant le long de toute solution, tant qu'il ne dépend pas explicitement du temps. En effet, dH/dt = (∂H/∂q)(dq/dt) + (∂H/∂p)(dp/dt), et les deux termes s'annulent exactement. C'est la conservation de l'énergie, obtenue sans effort.

L'espace des phases en images

L'espace des phases d'un système à un degré de liberté est un plan : on porte q en abscisse et p en ordonnée. Chaque point représente un état complet, et chaque mouvement trace une courbe sur laquelle l'énergie est constante, appelée courbe de niveau de H.

L'oscillateur harmonique

Pour une masse m reliée à un ressort de raideur k, H = p²/(2m) + kq²/2. Les courbes de niveau sont des ellipses centrées sur l'origine : plus l'énergie est grande, plus l'ellipse est large. Parcourir une ellipse revient à osciller. La période, T = 2π√(m/k), ne dépend pas de l'amplitude, ce qui est la signature de ce modèle.

Le pendule simple

Pour un pendule de longueur l, de masse m, dans un champ de pesanteur g, H = p²/(2ml²) − mgl·cos θ. Près du bas de la course, les orbites ressemblent à des ellipses : c'est le régime des petites oscillations, de période voisine de 2π√(l/g), soit environ 2 secondes pour un fil de 1 mètre sur Terre (g ≈ 9,81 m/s²). Plus l'énergie augmente, plus les courbes se déforment. À l'énergie mgl, une courbe particulière, la séparatrice, passe par le point d'équilibre instable situé tout en haut. Au-delà, le pendule ne s'arrête plus : il tourne, et la courbe n'est plus fermée dans la variable θ.

Avec plusieurs degrés de liberté, l'espace des phases a 2n dimensions pour n coordonnées, et on ne peut plus le dessiner. On étudie alors des coupes, par exemple les points où une trajectoire traverse un plan donné (sections de Poincaré). Ce procédé permet de repérer d'un coup d'œil si un mouvement est régulier, auquel cas les points s'alignent sur des courbes, ou chaotique, auquel cas ils remplissent une région.

Symétries et grandeurs conservées

Le crochet de Poisson de deux fonctions f et g sur l'espace des phases est défini par {f, g} = ∂f/∂q · ∂g/∂p − ∂f/∂p · ∂g/∂q. Il permet de réécrire l'évolution de n'importe quelle grandeur f : df/dt = {f, H} si f ne dépend pas explicitement du temps. Une grandeur est donc conservée dès que son crochet avec H est nul.

Le théorème de Noether relie ce fait aux symétries : à toute transformation continue qui laisse H inchangé correspond une grandeur conservée. L'idée tient en une phrase, mais ses conséquences sont considérables, puisqu'elle organise toute la physique moderne autour de la notion de symétrie.

Les deux dernières lignes expliquent par exemple pourquoi un satellite soumis à une force centrale conserve son moment cinétique, donc reste dans un plan et balaie des aires égales en des temps égaux : c'est la deuxième loi de Kepler, vue comme conséquence d'une symétrie par rotation.

La structure symplectique

Mesurer des aires dans le plan (q, p)

Dans le plan de phase, la forme ω = dq ∧ dp mesure l'aire orientée d'un parallélogramme construit sur deux vecteurs. Avec plusieurs degrés de liberté, on somme les contributions de chaque couple (qᵢ, pᵢ). Cette forme est antisymétrique, fermée (sa dérivée extérieure est nulle) et non dégénérée : aucun vecteur non nul n'est « orthogonal » à tous les autres pour ω. Ce sont les trois conditions qui définissent une structure symplectique.

La dernière condition est la plus utile. Elle assure qu'à toute fonction H on peut associer un champ de vecteurs unique, le champ hamiltonien, défini par la relation entre ω et la différentielle de H. Ce champ n'est autre que le second membre des équations de Hamilton : le mouvement est « fabriqué » par H à travers ω.

Le flot conserve les aires

Le théorème de Liouville affirme que l'évolution hamiltonienne conserve le volume de l'espace des phases. En dimension 1 : si l'on prend un petit domaine d'états initiaux et qu'on le laisse évoluer, sa forme se déforme mais son aire ne change pas. Le résultat est plus fort : le flot conserve ω elle-même. Les transformations qui possèdent cette propriété s'appellent transformations canoniques ou symplectomorphismes, et elles jouent en mécanique le rôle que les isométries jouent en géométrie euclidienne.

Variétés symplectiques

Tout espace des phases n'est pas un simple plan. Pour un pendule, la variable θ vit sur un cercle, donc l'espace des phases est un cylindre. Pour un solide qui tourne, il est bien plus complexe. On le modélise par une variété symplectique, c'est-à-dire un espace courbe qui possède localement des coordonnées (q, p) dans lesquelles ω prend la forme habituelle. Le fibré cotangent d'une variété de configurations en est l'exemple fondamental, mais il existe des variétés symplectiques qui n'en sont pas, comme la sphère, où ω mesure l'aire usuelle. La sphère modélise par exemple l'espace des phases réduit d'un moment cinétique de norme fixée.

Simuler sans tricher

Quand on programme un mouvement, on remplace l'évolution continue par une suite de pas de durée h. Le choix du schéma a des conséquences visibles, surtout sur de longues durées. Prenons l'oscillateur harmonique réduit (m = k = 1), de hamiltonien (p² + q²)/2.

• Euler explicite : on met à jour q et p avec les valeurs de l'instant précédent. À chaque pas, l'énergie est multipliée par 1 + h². Elle croît donc sans cesse, et la trajectoire s'écarte de l'ellipse en spirale.
• Euler symplectique : on met à jour p d'abord, puis q avec la nouvelle valeur de p. L'énergie n'est pas exactement conservée, mais elle oscille autour de sa valeur initiale sans dériver. Le schéma conserve les aires.
• Störmer–Verlet (ou saute-mouton) : version symétrique et d'ordre 2 du précédent. Très utilisé en dynamique moléculaire et en mécanique céleste, il combine précision et bon comportement à long terme.

L'explication théorique est élégante : un schéma symplectique suit exactement, à une petite erreur près, le flot d'un hamiltonien légèrement modifié. Il ne reproduit donc pas tout à fait le système réel, mais un système voisin qui, lui, conserve son énergie. C'est pourquoi on choisit ces méthodes pour simuler pendant des millions de pas le mouvement des planètes ou d'une molécule.

Au-delà : quantification et thermodynamique

La géométrie symplectique ne reste pas confinée à la mécanique classique. Dans les années 1960 et 1970, plusieurs mathématiciens et physiciens ont montré qu'elle fournit un langage commun entre mécanique classique et mécanique quantique. Le mathématicien français Jean-Marie Souriau (1922-2012) est l'un des fondateurs de cette approche : on lui doit notamment l'introduction de l'application moment, qui associe à chaque symétrie d'un système sa grandeur conservée de manière intrinsèque, et, avec Bertram Kostant, la quantification géométrique, qui cherche à construire un espace d'états quantiques à partir de la seule structure symplectique. Son ouvrage « Structure des systèmes dynamiques », paru à la fin des années 1960, reste une référence pour cette période.

Observer des oscillations dehors

Inutile de disposer d'un laboratoire pour manipuler ces idées. Un pendule fabriqué avec un fil et un écrou permet de mesurer la période pour plusieurs amplitudes et de constater qu'elle s'allonge quand l'amplitude grandit, contrairement à ce que prédit le modèle linéaire. Un chronomètre de téléphone suffit : on mesure dix oscillations d'affilée et on divise.

La nature offre aussi des oscillateurs en grandeur réelle. Avec un peu de patience, on observe la houle qui arrive en rangées régulières, le ressac qui revient à intervalles à peu près constants, ou le balancement d'un bateau au mouillage. Ces mouvements sont amortis et entretenus par le vent, donc non hamiltoniens au sens strict, mais ils portent les mêmes grandeurs : amplitude, période, résonance. Une promenade sur le littoral audois, autour de Narbonne-Plage, est une bonne occasion de regarder la houle et les bateaux au mouillage comme autant d'oscillateurs à ciel ouvert, d'autant que la marée y est très faible, ce qui laisse les oscillations rapides dominer ce que l'on voit.

Lectures et parcours

Pour avancer, mieux vaut suivre un ordre. Voici un parcours possible, du plus concret au plus abstrait.

1. Mécanique analytique : cours de licence de physique (Lagrange, Hamilton, petites oscillations). Le manuel de Landau et Lifchitz, « Mécanique », est un classique concis.
2. Systèmes dynamiques : portraits de phase, stabilité, sections de Poincaré. Quelques semaines d'exercices avec un logiciel de calcul numérique suffisent à acquérir l'intuition.
3. Géométrie symplectique : « Méthodes mathématiques de la mécanique classique » de Vladimir Arnold (traduit en français) fait le lien entre les formulations ; « Foundations of Mechanics » d'Abraham et Marsden va plus loin pour les spécialistes.
4. Schémas géométriques d'intégration : l'ouvrage « Geometric Numerical Integration » de Hairer, Lubich et Wanner traite les méthodes symplectiques de façon systématique.

Questions fréquentes